Question

如圖，四棱錐E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F為CE上的點(diǎn)，且BF平面AC E．

（1）求證：AEBE；
（2）求三棱錐D—AEC的體積；
（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

Answer 1

（1）空間中的線線垂直的證明，一般主要是通過線面垂直的性質(zhì)定理來加以證明。
（2）
（3）

試題分析：解：（1）ABCD是矩形，BCAB，平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD，BC平面EAB，
EA平面EAB，BCEA ，BF平面ACE，EA平面ACE，BF EA， BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC，EA平面EBC ，BE平面EBC， EA BE。 
（2） EA BE，AB=
 ，設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連結(jié)EO，
∵AE=EB=2，EOAB，平面EAB平面ABCD，EO平面ABCD，即EO為三棱錐E—ADC的高，且EO=，。
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E、OB所在直線為，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
 ，由（2）知是平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)平面ECD的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)二面角A—CD—E的平面角的大小為，由圖得，
所以二面角A—CD—E的余弦值為。
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，以及建立直角坐標(biāo)系來求解二面角的 平面角是常用 方法之一，屬于基礎(chǔ)題。