【題目】（本題滿分12分）如圖， 是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)， 垂直于圓所在的平面，且．

（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；

（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；

（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）．

【解析】解法一：（Ⅰ）在中，因?yàn)?/span>， 為的中點(diǎn)，

所以．又垂直于圓所在的平面，所以．

因?yàn)?/span>，所以平面．

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，

所以當(dāng)時， 到的距離最大，且最大值為．

又，所以面積的最大值為．

又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為．

（Ⅲ）在中， ， ，所以．

同理，所以．

在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示．

當(dāng)， ， 共線時， 取得最小值．

又因?yàn)?/span>， ，所以垂直平分，

即為中點(diǎn)．從而，

亦即的最小值為．

解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）在中， ， ，

所以， ．同理．

所以，所以．

在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示．

當(dāng)， ， 共線時， 取得最小值．

所以在中，由余弦定理得：

．

從而．

所以的最小值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）若函數(shù)f（x）在處有極值，求函數(shù)f（x）的最大值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有編號為的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：

編號

直徑

1.51

1.49

1.49

1.51

1.49

1.51

1.47

1.46

1.53

1.47

其中直徑在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

（1）上述10個零件中，隨機(jī)抽取1個，求這個零件為一等品的概率.

（2）從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個；

①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2個零件直徑相等的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=3x+1,y=f(x)在x=-2處有極值．

(1)求f(x)的解析式．

(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)與的定義域都是.

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù);

（3）用表示的最小值，設(shè)，，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在五面體中，側(cè)面是正方形，是等腰直角三角形，點(diǎn)是正方形對角線的交點(diǎn)，且.

（1）證明：平面；

（2）若側(cè)面與底面垂直，求五面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列、滿足 (N*)，則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.

（1）若為常數(shù)列，且為的“偏差數(shù)列”，試判斷是否一定為等差數(shù)列，并說明理由；

（2）若無窮數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，且，為數(shù)列的“偏差數(shù)列”，求的值；

（3）設(shè)，為數(shù)列的“偏差數(shù)列”，，且，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)M的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值；

（2）求曲線的內(nèi)接矩形周長的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．

(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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