Question

關于函數(shù)y=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
③函數(shù)y=f（x）在（

2π

3

，π）上單調遞增；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍．
其中正確的命題序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：①當代入x=-

π

6

，求出函數(shù)值，判斷是否為最值，即可判斷；②由y=sinx的對稱中心（kπ，0）（k為整數(shù)），即可判斷；③由y=sinx的增區(qū)間得，2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，化簡即可判斷；
④由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂ 是半個周期的整數(shù)倍，即可判斷．

解答： 解：①當x=-

π

6

時，y=4sin（-

π

3

+

π

3

）=0，不為最值，故①錯；
②由y=sinx的對稱中心（kπ，0）（k為整數(shù)）可知，函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，故②對；
③由y=sinx的增區(qū)間得，2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，（

2π

3

，π）
⊆[π-

5π

12

，π+

π

12

]，故③對；
④由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂ 是半個周期的整數(shù)倍，即x₁-x₂ =k•

1

2

π，k∈Z，故④不正確．
故答案為：②③

點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．