【題目】已知向量 =(2sinx, cosx), =(﹣sinx,2sinx),函數(shù)f(x)= .
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]的最值及所對應(yīng)的x值.
【答案】
(1)解:向量 =(2sinx, cosx), =(﹣sinx,2sinx),
函數(shù)f(x)=
=﹣2sin2x+2 sinxcosx
=﹣2× + sin2x
= sin2x+cos2x﹣1
=2sin(2x+ )﹣1;
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),
令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣ +kπ, +kπ],k∈Z
(2)解:當(dāng)x∈[0, ]時,2x+ ∈[ , ],
所以sin(2x+ )∈[﹣ ,1],
所以sin(2x+ )﹣1∈[﹣ ,0],
所以當(dāng)x= 時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上取得最小值﹣ ,
x= 時,函數(shù)f(x)取得最大值0
【解析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出f(x)的解析式,(1)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求出x∈[0, ]時sin(2x+ )的取值,從而求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最值以及對應(yīng)x的值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的正弦函數(shù)的單調(diào)性,需要了解正弦函數(shù)的單調(diào)性:在上是增函數(shù);在上是減函數(shù)才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=x2+px+q.求證:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一塊扇形鐵皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下來一個扇環(huán)形ABCD,作圓臺容器的側(cè)面,并且在余下的扇形OCD內(nèi)能剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺容器的下底面(大底面).試求:
(1)AD應(yīng)取多長?
(2)容器的容積為多大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在2008奧運會上兩名射擊運動員甲、乙在比賽中打出如下成績:甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8;乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1;用莖葉圖表示甲,乙兩個成績;并根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩人成績?nèi)鐖D所示,莖表示成績的整數(shù)環(huán)數(shù),葉表示小數(shù)點后的數(shù)字.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若將函數(shù)y=2sin(3x+φ)的圖象向右平移 個單位后得到的圖象關(guān)于點( ,0)對稱,則|φ|的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=ax﹣ ﹣5lnx,其中a∈R.
(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=x2﹣mx+4,當(dāng)a=2時,若x1∈(0,1),x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后,某學(xué)生得出下列四個結(jié)論:
①BD⊥AC; ②△BAC是等邊三角形;
③三棱錐D-ABC是正三棱錐; ④平面ADC⊥平面ABC。
其中正確的是___________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣ (a>0)
(1)若x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)證明: (e為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2﹣2x+2﹣a2)(a>0),g(x)=x2+6x+c(c∈R).
(1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=﹣4x﹣2,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)a=1時,對x1∈[﹣2,2],x2∈[﹣2,2],使f(x1)<g(x2)成立,求實數(shù)c的取值范圍.
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