【題目】已知函數(shù).
(1)若,求在處的切線方程;
(2)對(duì)任意的,恒成立,求的取值范圍;
(3)設(shè),在(2)的條件下,當(dāng)取最小值且時(shí),試比較與在上的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1) ;(2) ; (3) ,證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
(2)求導(dǎo)后分,和三種情況進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值從而求得的取值范圍.
(3)由(2)有取最小值1.再根據(jù)題意構(gòu)造出證明的結(jié)構(gòu),求導(dǎo)分析單調(diào)性證明最值的大小即可.
(1) ∵函數(shù),
∴.故.又.
故在處的切線方程為,即
(2)∵函數(shù),
∴,
①當(dāng)時(shí),得,則在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
又,故不成立。
②當(dāng)時(shí),由,得,
由,得,
(i)當(dāng)時(shí),得,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
要使得恒成立,則,
令,則,
∴在上單調(diào)遞增,
又,∴恒成立,即無解。
(ii)當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,
由,得恒成立,
綜上:.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3),證明如下:
由(2)可知,此時(shí).
,知:即證,
令,則,
由,解得,由,解得,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴,
令,則,
由,解得,由,解得,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故,又,
∴.
∴.
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【題目】已知函數(shù),,則下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A.有個(gè)零點(diǎn)B.最小值為
C.在區(qū)間單調(diào)遞減D.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
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【題目】在水平地面上的不同兩點(diǎn)處栽有兩根筆直的電線桿,假設(shè)它們都垂直于地面,則在水平地面上視它們上端仰角相等的點(diǎn)的軌跡可能是( )
①直線 ②圓 ③橢圓 ④拋物線
A.①②B.①③C.①②③D.②④
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;
(2)若是曲線上的動(dòng)點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)時(shí),求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若,判斷函數(shù)的單調(diào)性并說明理由;
(2)若,求證:關(guān)的不等式在上恒成立.
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【題目】將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3號(hào)的盒子中,不允許有空盒子的放法有多少種?下列結(jié)論正確的有( ).
A.B.C.D.18
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