Question

給出下列命題：
①3≥3
②x+

1

x

≥2 (x∈R )
③“若x＞3，則x²＞9”的否命題
④“若a≤1，則方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)根”的逆否命題．
則其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型

分析：由p或q型命題的真假判斷①；
利用基本不等式求最值判斷②；
舉反例判斷命題③的否命題的真假；
分類討論說明命題④為真命題，得到其逆否命題為真命題．

解答： 解：對于①，∵3=3成立，
∴3≥3成立．∴命題①正確；
對于②，x=0時不等式左邊無意義，且當(dāng)x＜0時，x+

1

x

=-[-x+

1

-x

]≤-2，
∴命題②不正確；
對于③，命題“若x＞3，則x²＞9”的否命題為：“若x≤3，則x²≤9”．
-4≤3，但（-4）²=16＞9，∴命題③的否命題為假命題；
對于④“若a≤1，則方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)根”的逆否命題的正誤判斷如下：
當(dāng)a=1時，方程ax²+2x+1=0有一個根-1，a=0時，方程ax²+2x+1=0有一個根-

1

2

，
當(dāng)0＜a＜1時，△=4-4a＞0，x1+x2=-

2

a

＜0，方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)根，
當(dāng)a＜0時，△=4-4a＞0，x1x2=

1

a

＜0，方程ax²+2x+1=0有一個負(fù)根，
∴命題④為真命題，則命題④的逆否命題為真命題．
∴正確命題的序號為①④．
故答案為：①④

點評：本題考查命題的真假判斷，考查基本不等式求最值，訓(xùn)練了復(fù)合命題的真假判斷，訓(xùn)練了舉反例法否定一個命題的正確性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．