已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a1=1,當n≥2時,都有an=an-1+2n-1,記
(Ⅰ)試求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)證明:Tn<2;
(Ⅲ)令,Bn=b1b2…bn,試比較與Bn的大。
【答案】分析:(Ⅰ)當n≥2時,利用an=an-1+2n-1,寫出a2-a1=2×2-1,a3-a2=2×3-1,…an-an-1=2×n-1
各式相加,可求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)先放縮,再裂項求和,即可證得結論;
(Ⅲ)先計算當n=1時,;當n=2時,;當n=3時,;
猜想當n≥3時,,再用數(shù)學歸納法證明.
解答:(Ⅰ)解:當n≥2時,∵an=an-1+2n-1,
∴a2-a1=2×2-1
a3-a2=2×3-1

an-an-1=2×n-1
各式相加得an-a1=2(2+3+…+n)-(n-1),
∴an-a1=2×

又當n=1時,a1=1滿足上式,故
(Ⅱ)證明:
=
(Ⅲ)解:,
當n=1時,;
當n=2時,;
當n=3時,;
猜想當n≥3時,
以下用數(shù)學歸納法證明:
①當n=3時,左邊==右邊,命題成立.
②假設當n=k(k≥3)時,,即
當n=k+1時,=,命題成立.
故當n≥3時,
綜上所述,當n=1時,,
當n=2時,,
當n≥3時,
點評:本題以數(shù)列遞推式為載體,考查數(shù)列的通項公式,考查不等式的證明,同時考查裂項法,數(shù)學歸納法的運用,先猜后證是關鍵.
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2n
3n+1
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3
5
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11
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[  ]
A.

8

B.

16

C.

32

D.

36

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  1. A.
    8
  2. B.
    16
  3. C.
    32
  4. D.
    36

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