Question

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

設(shè)為定義域?yàn)?img width=17 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/318/255318.gif" >的函數(shù)，對(duì)任意，都滿足：，，且當(dāng)時(shí)，

（1）請(qǐng)指出在區(qū)間上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、最大（�。┲岛土泓c(diǎn)，并運(yùn)用相關(guān)定義證明你關(guān)于單調(diào)區(qū)間的結(jié)論；

（2）試證明是周期函數(shù)，并求其在區(qū)間上的解析式．

Answer 1

解：（1）偶函數(shù)；.………………………………………………………………………1分

最大值為、最小值為0；.…………….……………………………………………………1分

單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：；...…………………………………………1分

零點(diǎn)：．.…………………………..……………………………………………………1分

單調(diào)區(qū)間證明：

當(dāng)時(shí)，

設(shè)，，

證明在區(qū)間上是遞增函數(shù)

由于函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且恒成立，

所以，，

所以，在區(qū)間上是增函數(shù)．…………………………………………………….4分

證明在區(qū)間上是遞減函數(shù)

【證法一】因?yàn)?img width=36 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/338/255338.gif" >在區(qū)間上是偶函數(shù)．

對(duì)于任取的，，有

所以，在區(qū)間上是減函數(shù)． …………………………………………………..4分

【證法二】設(shè)，由在區(qū)間上是偶函數(shù)，得

以下用定義證明在區(qū)間上是遞減函數(shù) ………………………………………..4分

（2）設(shè)，，

所以，2是周期．        ……………………………………………………………4分

當(dāng)時(shí)，，

所以………………………………………….4分