Question

已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，設(shè).

（1）求證數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）若對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

(1)(2)

試題分析：
(1)已知等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求的數(shù)列的通項(xiàng)公式,帶入即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,不難發(fā)現(xiàn),分別為等比數(shù)列與等差數(shù)列,則利用錯(cuò)位相減法即可求出的前n項(xiàng)和.
(2)該問題是個(gè)恒成立問題,只需要求出數(shù)列的最大值,則需要考查該數(shù)列的單調(diào)性,不妨設(shè)對數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)做差,不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列的第一與第二項(xiàng)相等,從第三項(xiàng)開始單調(diào)遞減,則該數(shù)列的最大值為,則m滿足,帶入解二次不等式即可求的的取值范圍.
試題解析：
(1)由題意知，，
所以，
故，
所以          3分
所以
于是
兩式相減得

所以        7分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240431528811259.png" style="vertical-align:middle;" />
所以當(dāng)時(shí)，,
當(dāng),
所以當(dāng)時(shí)，取最大值是,
又,
所以
即        12分