Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1（-2

2

，0），F(xiàn)2（2

2

，0），且過點(diǎn)A（3，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P（-

9

5

，

1

5

）為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且P為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，其中c=2

2

，a=3，利用b²=a²-c²即可得到b；
（2）利用“點(diǎn)差法”和斜率計(jì)算公式即可得出；

解答：解：（1）由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，其中c=2

2

，a=3，得b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：

x2

9

+y2=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵點(diǎn)M，N都在橢圓C上，∴

x 2 1

9

+

y

2 1

=1，

x 2 2

9

+

y

2 2

=1，
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

9

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
∵

x1+x2

2

=-

9

5

，

y1+y2

2

=

1

5

，kMN=

y1-y2

x1-x2

，
∴-

9

5

×

1

9

+

1

5

•kMN=0．
解得直線l的斜率k_MN=1．
又直線l過點(diǎn)P(-

9

5

，

1

5

)，
∴直線l的方程為y-

1

5

=x+

9

5

，即y=x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、斜率計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．