Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

．
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）設

CE

=λ

CC1

（0≤λ≤1），且平面AB₁E與BB₁E所成的銳二面角的大小為30°，試求λ的值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出AB⊥BC₁，BC⊥BC₁，由此能證明C₁B⊥平面ABC．
（2）以B為原點，BC，BA，BC₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．利用向量法能求出λ的值．

解答： （1）證明：AB⊥側面BB₁C₁C，BC₁?側面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
在△BCC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
由余弦定理得：BC12=BC²+CC12-2BC•CC₁•cos∠BCC₁
=1²+2²-2×1×2×cos

π

3

=3，
∴BC₁=

3

，…3 分
∴BC²+BC12=CC12，∴BC⊥BC₁，
∵BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（5分）
（2）解：由（1）知，BC，BA，BC₁兩兩垂直，
以B為原點，BC，BA，BC₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
則B(0，0，0)，A(0，1，0)，B1(-1，0，

3

)，C1(0，0，

3

)．…（7分）
∴

CC1

=(-1，0，

3

)，∴

CE

=(-λ，0，

3

λ)，∴E(1-λ，0，

3

λ)，
則

AE

=(1-λ，-1，

3

λ)，

AB1

=(-1，-1，

3

)．
設平面AB₁E的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AE =0 n • AB1 =0

，∴

(1-λ)x-y+ 3 λz=0 -x-y+ 3 z=0

，
令z=

3

，則x=

3-3λ

2-λ

，y=

3

2-λ

，∴

n

=(

3-3λ

2-λ

，

3

2-λ

，

3

)．…（10分）
∵AB⊥側面BB₁C₁C，∴

BA

=（0，1，0）是平面BEB₁的一個法向量，
∴|cos＜

n

，

BA

＞|=|

3 2-λ

1× ( 3-3λ 2-λ )2+( 3 2-λ )2+( 3 )2

|=

3

2

，
兩邊平方并化簡得2λ²-5λ+3=0，
∴λ=1或λ=

3

2

（舍去）．…（12分）
∴λ的值是1．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．