Question

已知點(diǎn)P是拋物線y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，a），則當(dāng)|a|＞4時(shí)，|PA|+|PM|的最小值是______．

Answer 1

首先，當(dāng)x=4時(shí)，代入拋物線方程，求得|y|=4
而|a|＞4，說(shuō)明A（4，a）是在拋物線之外（也就是在拋物線位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）
拋物線焦點(diǎn)可求得是F（1，0），準(zhǔn)線L：x=-1
P在y軸上的射影是M，說(shuō)明PM⊥y軸，延長(zhǎng)PM交L：x=-1于點(diǎn)N，必有：
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到準(zhǔn)線L：x=-1的距離！
連接PF
根據(jù)拋物線的定義，
可知：拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于其到焦點(diǎn)F（1，0）的距離！即：|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：
連接|AF|
由于A在拋物線之外，可由圖象的幾何位置判斷出：AF必與拋物線交于一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為P'
1°當(dāng)P與P'不重合時(shí)：A，P，F(xiàn)三點(diǎn)必不共線，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形APF，根據(jù)三角形“兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)，可得：
|PF|+|PA|＞|AF|=

(4-1)2+(a-0)2

^=

a2+9

2°當(dāng)P與P'重合時(shí)，A，P（P'），F(xiàn)三點(diǎn)共線，根據(jù)幾何關(guān)系有：
|PF|+|PA|=|AF|=

a2+9

綜合1°，2°兩種情況可得：
|PF|+|PA|≥

a2+9

∴（|PF|+|PA|）min=

a2+9

∴（|PA|+|PM|）min=

a2+9

-1