Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的極大值點，求的值；

（2）若在上只有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后通過極大值點所對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值為0即可求出的值，最后通過檢驗即可得出結(jié)果；

(2)首先可以設(shè)方程并寫出方程的導(dǎo)函數(shù)，然后將在上只有一個零點轉(zhuǎn)化為在上只有一個零點，再利用方程的導(dǎo)函數(shù)求出方程的最小值，最后對方程的最小值與0之間的關(guān)系進行分類討論即可得出結(jié)果。

(1)，

因為是的極大值點，所以，解得，

當(dāng)時，，，

令，解得，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，又，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故是的極大值點；

(2)令，，

在上只有一個零點即在上只有一個零點,

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.

（Ⅰ）當(dāng)，即時，時，在上只有一個零點，即在上只有一個零點.

（Ⅱ）當(dāng)，即時，取，，

①若，即時，在和上各有一個零點，即在上有2個零點，不符合題意；

②當(dāng)即時，只有在上有一個零點，即在上只有一個零點，

綜上得，當(dāng)時，在上只有一個零點。