如圖，在底面 是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,點E是PD的中點.

（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的正切值.

 

答案：
解析：

（Ⅰ）證法一  因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

因為

        

所以  、、共面.

又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.

證法二  同證法一得PA⊥平面ABCD.

連結BD，設BDAC=O，則O為BD的中點.

連結OE，因為E是PD的中點，所以PB//OE.

又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.

又E是PD的中點，從而G是AD的中點，

所以  

 


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E是PD的中點．
（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=
2
，點E在PD上，且PE：ED=2：1，
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的大�。�
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=
2
SA，點P在SD上，且SD=3PD．
（1）證明SA⊥平面ABCD；
（2）設E是SC的中點，求證BE∥平面APC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2
2
，點F是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF與平面ABCD所成角的大��；
（Ⅲ）若點E在棱PD上，當
PE
PD
為多少時二面角E-AC-D的大小為
π
6
？

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