Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，DA⊥AB，CB⊥AB，DO⊥CO
（Ⅰ）求證：CD是⊙O的切線；
（Ⅱ）設(shè)CD與⊙O的公共點(diǎn)為E，點(diǎn)E到AB的距離為2，求$\frac{1}{CE}$+$\frac{1}{DE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明CO是∠BCD的平分線，圓心O到CD的距離等于半徑，即可證明：CD是⊙O的切線；
（Ⅱ）分類討論，過(guò)E作EF⊥AB交AB于F，過(guò)C作CG⊥AD交AD于G，交EF于H，由（Ⅰ）可得DA=DE，CB=CE．在△CGD中，有$\frac{EH}{GD}=\frac{CE}{CD}$，即可求$\frac{1}{CE}$+$\frac{1}{DE}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：由題可知DA，BC為⊙O的切線．
∵∠DOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=90°；
∵∠OBC=90°，∴∠OCB+∠BOC=90°；
∴∠AOD=∠OCB，
∴△AOD∽△BCO，∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{BC}{OA}$，…（2分）
又∵AO=OB，∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{BC}{OB}$，
∴Rt△OCD∽R(shí)t△BCO，∴∠OCD=∠BCO，
∴CO是∠BCD的平分線，∴圓心O到CD的距離等于半徑，
∴CD是⊙O的切線；…（5分）
（Ⅱ）解：若DA=CB，顯然可得$\frac{1}{CE}$+$\frac{1}{DE}$=1．…（6分）
若DA≠CB，不妨設(shè)DA＞CB．
過(guò)E作EF⊥AB交AB于F，過(guò)C作CG⊥AD交AD于G，交EF于H．
由（Ⅰ）可得DA=DE，CB=CE．
在△CGD中，
有$\frac{EH}{GD}=\frac{CE}{CD}$，即$\frac{2-CE}{DE-CE}$=$\frac{CE}{CE+DE}$，化簡(jiǎn)得$\frac{1}{CE}$+$\frac{1}{DE}$=1．
綜上：$\frac{1}{CE}$+$\frac{1}{DE}$=1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查圓的切線的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．