Question

18．在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，若$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{CA}$等于（　�。�

• A． -2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 以AC為x軸，AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，求出D點坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{CA}$．

解答 解：以AC為x軸，AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（-2，0），C（2，0），
由勾股定理可得|OB|=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
即有B（0，$\sqrt{5}$），
設(shè)D（x，y），
則$\overrightarrow{AC}$=（4，0），$\overrightarrow{BC}$=（2，-$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{DC}$=（2-x，-y）．
由$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4+2（2-x）=6}\\{-2y=-3\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得x=1，y=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．即D（1，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）．
則$\overrightarrow{CD}$=（-1，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（-4，0）．
則$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$=（-1）×（-4）+0=4．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算是解題關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．