【題目】已知被直線, 分成面積相等的四個(gè)部分,且截軸所得線段的長(zhǎng)為2.
(1)求的方程;
(2)若存在過(guò)點(diǎn)的直線與相交于, 兩點(diǎn),且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】試題分析:(1)被直線, 分成面積相等的四個(gè)部分說(shuō)明圓心在直線的交點(diǎn),再根據(jù)截得x軸線段長(zhǎng)求出半徑即可;(2)根據(jù)平面幾何知識(shí)知,“點(diǎn)是線段的中點(diǎn)”等價(jià)于“圓上存在一點(diǎn)使得的長(zhǎng)等于的直徑”,轉(zhuǎn)化為,即,從而求解.
試題解析:
(1)設(shè)的方程為,
因?yàn)?/span>被直線分成面積相等的四部分,
所以圓心一定是兩直線的交點(diǎn),
易得交點(diǎn)為,所以.
又截x軸所得線段的長(zhǎng)為2,所以.
所以的方程為.
(2)法一:如圖, 的圓心,半徑,
過(guò)點(diǎn)N作的直徑,連結(jié).
當(dāng)與不重合時(shí), ,
又點(diǎn)是線段的中點(diǎn);
當(dāng)與重合時(shí),上述結(jié)論仍成立.
因此,“點(diǎn)是線段的中點(diǎn)”等價(jià)于“圓上存在一點(diǎn)使得的長(zhǎng)等于的直徑”.
由圖可知,即,即.
顯然,所以只需,即,解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
法二:如圖, 的圓心
過(guò)作交于點(diǎn),并設(shè).
由題意得,
所以,
又因?yàn)?/span>,所以,
將代入整理可得,
因?yàn)?/span>,所以,,解得.
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(1)若l的傾斜角為 , 是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設(shè) ,若l的斜率存在,且|AB|=4,求l的斜率.
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【題目】已知,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;
(Ⅱ)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素,求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于,求的取值范圍.
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【題目】如圖,三棱柱中,底面為正三角形, 底面,且, 是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面;
(3)在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn),使得三棱錐的體積是?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
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【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,一條漸近線方程為,右焦點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸為,為雙曲線上一點(diǎn)(不同于,),直線,分別與直線交于,兩點(diǎn).
()求雙曲線的方程.
()證明為定值.
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【題目】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率,虛軸長(zhǎng)為2.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),( 均異于左、右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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(Ⅰ)若,求實(shí)數(shù)的值;
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