Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，實數(shù)a，b為常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若a=-2-b，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a和b的值代入解析式確定出f（x），求出f（x）的導函數(shù)，把x=1代入f（x）中求出f（1）的值即為切點的縱坐標，得到切點坐標，把x=1代入導函數(shù)中求出的導函數(shù)值即為切線的斜率，由切點坐標和斜率寫出切線的方程即可；（Ⅱ）把a=-2-b代入解析式表示出f（x），求出f（x）的導函數(shù)，又根據(jù)負數(shù)沒有對數(shù)求出f（x）的定義域，令導函數(shù)等于0求出x的值為

b

2

和1，分四種情況考慮：

b

2

小于等于0；

b

2

大于0小于1；

b

2

等于1；

b

2

大于1，分別討論導函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）因為a=1，b=-1，所以函數(shù)f（x）=x²+x-lnx，f（1）=2
又f′(x)=2x+1-

1

x

，f′（1）=2（2分）
所以y-2=2（x-1）
即f（x）在x=1處的切線方程為2x-y=0（5分）
（Ⅱ）因為a=-2-b，所以f（x）=x²-（2+b）x+blnx，
則f′(x)=2x-(2+b)+

b

x

=

(2x-b)(x-1)

x

（x＞0）
令f'（x）=0，得x1=

b

2

，x₂=1．（7分）
①當

b

2

≤0，即b≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；（8分）
②當0＜

b

2

＜1，即0＜b＜2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(0， b 2 )	( b 2 ，1)	（1，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

b

2

)∪（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(

b

2

，1)；（9分）
③當

b

2

=1，即b=2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；（10分）
④當

b

2

＞1，即b＞2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	(1， b 2 )	( b 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），(

b

2

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，

b

2

)；（12分）
綜上，當b≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當0＜b＜2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

b

2

)∪（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(

b

2

，1)；
當b=2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當b＞2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），(

b

2

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，

b

2

)．（13分）

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線的斜率，會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道中檔題．