Question

【題目】已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，直線x=4與x軸的交點為P，與拋物線的交點為Q，且 ．

（1）求拋物線的方程；
（2）如圖所示，過F的直線l與拋物線相交于A，D兩點，與圓x2+（y﹣1）2=1相交于B，C兩點（A，B兩點相鄰），過A，D兩點分別作我校的切線，兩條切線相交于點M，求△ABM與△CDM的面積之積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知P（4，0），Q（4， ），丨QF丨= + ，

由 ，則 + = × ，解得：p=2，

∴拋物線x2=4y

（2）

解：設(shè)l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，

則x1x2=﹣4，

由y= x2，求導y′= ，

直線MA：y﹣ = （x﹣x1），即y= x﹣ ，

同理求得MD：y= x﹣ ，

，解得： ，則M（2k，﹣1），

∴M到l的距離d= =2 ，

∴△ABM與△CDM的面積之積S△ABMS△CDM= 丨AB丨丨CD丨d2，

= （丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）d2，

= y1y2d2= ×d2，

=1+k2≥1，

當且僅當k=0時取等號，

當k=0時，△ABM與△CDM的面積之積的最小值1

【解析】（1）求得P和Q點坐標，求得丨QF丨，由題意可知， + = × 即可求得p的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，代入拋物線方程，由韋達定理x1x2=﹣4，求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得切線方程，聯(lián)立求得M點坐標，根據(jù)點到直線距離公式，求得M到l的距離，利用三角形的面積公式，即可求得△ABM與△CDM的面積之積的最小值．