Question

7．2017年某市開展了“尋找身邊的好老師”活動(dòng)，市六中積極行動(dòng)，認(rèn)真落實(shí)，通過微信關(guān)注評(píng)選“身邊的好老師”，并對(duì)選出的班主任工作年限不同的五位“好老師”的班主任的工作年限和被關(guān)注數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

班主任工作年限x（單位：年）	4	6	8	10	12
被關(guān)注數(shù)量y（單位：百人）	10	20	40	60	50

（1）若”好老師”的被關(guān)注數(shù)量y與其班主任的工作年限x滿足線性回歸方程，試求回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，并就此分析：“好老師”的班主任工作年限為15年時(shí)被關(guān)注的數(shù)量；
（2）若用$\frac{y_i}{x_i}$（i=1，2，3，4，5）表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)被關(guān)注數(shù)量的“即時(shí)均值”（四舍五入到整數(shù)），從“即時(shí)均值”中任選2組，求這2組數(shù)據(jù)之和小于8的概率．（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）．

Answer 1

分析 （1）利用公式求出回歸系數(shù)，可得回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，從而預(yù)測(cè)班主任工作年限為15年時(shí)被關(guān)注的數(shù)量；
（2）確定從5組“即時(shí)均值”任選2組、這2組數(shù)據(jù)之和小于8的基本事件數(shù)，即可求出概率．

解答 解：（1）$\overline{x}$=8，$\overline{y}$=36，$\widehat$=$\frac{40+120+320+600+600-5×8×36}{16+36+64+100+144-5×64}$=6，$\widehat{a}$=36-48=-12，
∴$\widehat{y}$=6x-12，
x=15時(shí)，$\widehat{y}$=6×15-12=78百人；
（2）這5次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，被關(guān)注數(shù)量的“即時(shí)均值”分別為3，3，5，6，4．
從5組“即時(shí)均值”任選2組，共有${C}_{5}^{2}$=10種情況，其中2組數(shù)據(jù)之和小于8為（3，3），（3，4），（3，4）共3種情況，∴這2組數(shù)據(jù)之和小于8的概率為$\frac{3}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查概率知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．