Question

如圖，平行四邊形AMBN的周長為8，點M，N的坐標分別為．
（Ⅰ）求點A，B所在的曲線方程；
（Ⅱ）過點C（-2，0）的直線l與（Ⅰ）中曲線交于點D，與Y軸交于點E，且l∥OA，求證：為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為四邊形AMBN是平行四邊形，周長為8，
所以兩點A，B到M，N的距離之和均為4，可知所求曲線為橢圓；
由橢圓定義可知，，b=1；
所求曲線方程為：（y≠0）；
（Ⅱ）由已知，直線l的斜率存在，又直線l過點C（-2，0），
設(shè)直線l的方程為：y=k（x+2），
代入曲線方程，并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0；
點C（-2，0）在曲線上，所以D（，）；
E（0，2k），=，；
因為OA∥l，所以設(shè)OA的方程為：y=kx；
代入曲線方程，并整理，得：（1+4k²）x²=4；
所以，；則
所以，為定值．
分析：（Ⅰ）由平行四邊形對邊相等，知|AM|+|AN|=|BM|+|BN|=4，由橢圓的定義，知點A，B所在的曲線是橢圓；且2a=4，c=，所以橢圓的方程可求；
（Ⅱ）如圖，設(shè)過點C的直線l方程為：y=k（x+2），與橢圓方程組成方程組，得交點D的坐標，直線l與Y軸相交，得點E的坐標，從而得向量，的坐標表示；又OA∥l，可設(shè)OA的方程為：y=kx，與橢圓方程組成方程組，得交點A的坐標，從而得的坐標表示，代入計算即可．
點評：本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓知識的綜合應(yīng)用，以及向量在解析幾何中的應(yīng)用；借助于圖形能幫助我們解決問題．