Question

【題目】某市在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城市”的過程中，為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城市”工作的了解情況，進(jìn)行了一次知識(shí)問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）．通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分100分）統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示．

組別
頻數(shù)	25	150	200	250	225	100	50

（1）該市把得分不低于80分的市民稱為“熱心市民”，若以頻率估計(jì)概率，以樣本估計(jì)總體，求從該市的市民中任意抽取一位，抽到“熱心市民”的概率；

（2）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示），請(qǐng)用正態(tài)分布的知識(shí)求；

（3）在（2）的條件下，該市為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

（ⅰ）得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；

（ⅱ）每次獲贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：

贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)（單元：元）	30	60
概率	0.75	0.25

現(xiàn)有市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

附：參考數(shù)據(jù)與公式

，若，則①；

②；③．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）分布列見解析，

【解析】

（1）由古典概型概率公式直接計(jì)算得到結(jié)果；

（2）利用頻數(shù)分布表可計(jì)算得到，由此確定；根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果；

（3）首先確定所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得數(shù)學(xué)期望.

（1）設(shè)從該市的市民中任意抽取一位，抽到“熱心市民”為事件，

則；

（2），

，，

，，，

即；

（3）由題意知：，，

的可能取值為，，，，

；；

；；

則的分布列為：

.