【題目】某港灣的平面示意圖如圖所示,、、分別是海岸線、上的三個(gè)集鎮(zhèn),位于的正南方向處,位于的北偏東方向處.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,為緩解集鎮(zhèn)的交通壓力,擬在海岸線、上分別修建碼頭、,開辟水上航線,勘測時(shí)發(fā)現(xiàn):以為圓心,為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū),不適宜船只航行.
(1)能否求出集鎮(zhèn)、間的直線距離?
(2)根據(jù)勘測要求,要使、之間的直線航線最短,直線與圓應(yīng)滿足什么關(guān)系?
(3)應(yīng)怎樣確定碼頭、的位置,才能使得、之間的直線航線最短?
【答案】(1);(2)直線與圓應(yīng)該相切;(3)碼頭、與集鎮(zhèn)的距離均為時(shí),、之間的直線航線最短.
【解析】
(1)在中,利用余弦定理可求出的長度;
(2)要使、之間的直線航線最短,又使得航線不能經(jīng)過淺水區(qū),進(jìn)而可得知直線與圓的位置關(guān)系;
(3)設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),連接,設(shè),,,根據(jù)的面積得到等式,然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最小值,利用等號成立的條件求出、,進(jìn)而可得出結(jié)論.
(1)在中,,,,
根據(jù)余弦定理得,所以,故集鎮(zhèn)、間的直線距離為;
(2)要使、之間的直線航線最短,又使得航線不能經(jīng)過淺水區(qū),則直線與圓應(yīng)該相切;
(3)設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),連接,則.
設(shè),,,
在中,由,
得,即,
由余弦定理,得,
所以,解得,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,
所以碼頭、與集鎮(zhèn)的距離均為時(shí),、之間的直線航線最短,最短距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),的最大值是,的最小值是,且滿足.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,線段的垂直平分線與軸、軸分別交于,兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),記的面積為,的面積為,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x與x=1時(shí)都取得極值,求a,b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一輛汽車從市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以每小時(shí)的速度向東均速行駛,汽車開動(dòng)時(shí),在市南偏東方向距市且與海岸距離為的海上處有一快艇與汽車同時(shí)出發(fā),要把一份稿件交給這汽車的司機(jī).
(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把稿件送到司機(jī)手中?
(2)在(1)的條件下,求快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成的角.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求在上的最小值;
(2)若關(guān)于的不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l過點(diǎn).
(1)若直線l的縱截距和橫截距相等,求直線l的方程;
(2)若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求直線l的方程.
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【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)B是上與A,C不重合的動(dòng)點(diǎn),平面.
(1)當(dāng)點(diǎn)B在什么位置時(shí),平面平面,并證明之;
(2)請判斷,當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)時(shí),會(huì)不會(huì)使得,若存在這樣的點(diǎn)B,請確定點(diǎn)B的位置,若不存在,請說明理由.
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【題目】①若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線一定是曲線的切線;
②若直線與曲線相切于點(diǎn),且直線與曲線除點(diǎn)外再?zèng)]有其他的公共點(diǎn),則在點(diǎn)附近,直線不可能穿過曲線;
③若不存在,則曲線在點(diǎn)處就沒有切線;
④若曲線在點(diǎn)處有切線,則必存在.
則以上論斷正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說明理由.
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