Question

已知函數(shù) ．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間其中上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，因為函數(shù)在上有極值，所以極值點的橫坐標需落在內(nèi)，對求導(dǎo)，令和判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，決定出極值點所在位置，得到極值點的橫坐標，讓落在區(qū)間內(nèi)，列出不等式；第二問，將已知條件先轉(zhuǎn)化為，下面主要任務(wù)是求函數(shù)的最小值，設(shè)出新函數(shù)，對它求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定當時有最小值，即，所以.
試題解析：（Ⅰ）因為，，則，
當時，，當時，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值.
因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，
所以 解得．
（Ⅱ）不等式即為 記
所以
令，則
，
在上單調(diào)遞增，
，從而，
故在上也單調(diào)遞增，
所以，所以
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.恒成立問題.