(滿分12分)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B,離心率,
直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)如果ΔBMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F,求直線的方程.
(1); (2).
解析試題分析:(1)由已知,且,即,
∴,解得,∴橢圓的方程標(biāo)準(zhǔn)為;
(2)橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,
設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,
由三角形重心的性質(zhì)知,又,
∴,故得,
求得Q的坐標(biāo)為;
設(shè),則,
且,
以上兩式相減得,
,
故直線MN的方程為,即.
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線方程。
點(diǎn)評(píng):中檔題,涉及橢圓的題目,在近些年高考題中是屢見(jiàn)不鮮,往往涉及求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,研究直線與橢圓的位置關(guān)系。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要考慮定義、a,b,c,e的關(guān)系,涉及直線于橢圓位置關(guān)系問(wèn)題,往往應(yīng)用韋達(dá)定理。本題利用“點(diǎn)差法”較方便的得到了直線的斜率,進(jìn)一步確定得到直線方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)是,點(diǎn)到直線的距離為,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于兩點(diǎn),使得.
(1)求橢圓的方程;(2)求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn),的距離之和為4.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)過(guò)(0,-2)的直線與曲線交于兩點(diǎn),且(為原點(diǎn)),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓右頂點(diǎn)到直線的距離為,離心率
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知A為橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn),設(shè)直線:,是否存在實(shí)數(shù)m,使直線與(Ⅰ)中的橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N,是∣AM∣=∣AN∣,若存在,求出 m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn), 點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上, .
(1)求直線的方程;
(2)求直線被過(guò)三點(diǎn)的圓截得的弦長(zhǎng);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓 經(jīng)過(guò)點(diǎn)其離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點(diǎn)P在橢圓上,為坐標(biāo)原點(diǎn).求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知拋物線:經(jīng)過(guò)橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè),又為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若的重心(中線的交點(diǎn))在拋物線上,
(1)求和的方程.
(2)有哪幾條直線與和都相切?(求出公切線方程)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q ?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦、分別過(guò)焦點(diǎn)、,當(dāng)垂直于軸時(shí),恰好有
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè).
①當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),求的值;
②當(dāng)點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),試判斷是否為定值?
若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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