【題目】設(shè)橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , 上頂點為A,過A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于Q點,且F1恰好是線段QF2的中點.
(1)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,B是橢圓C的左頂點,過點R( ,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于E、F兩點,直線BE、BF分別交直線x= 于M、N兩點,若直線MR、NR的斜率分別為k1 , k2 , 試問:k1k2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】
(1)
解:由題意可知A(0,b),F(xiàn)1是線段QF1的中點,
設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),則Q(﹣3c,0),
∵∠QAF1=90°,
∴b2=3c2,
由題意Rt△QAF1外接圓圓心為斜邊的QF1中點F1(﹣c,0),半徑等于2c,
由A,Q,F(xiàn)2,三點恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切,
∴F1(﹣c,0)到直線的距離等于半徑2c,
即 =2c,
解得:c=1,b2=3,a2=4,
∴橢圓的標準方程:
(2)
解:設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),
直線PQ的方程為x=my+ ,代入橢圓方程 ,
4(4+3m2)y2+36my﹣21=0,
y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,
由B,E,M,三點共線,可知: = ,即yM= ,
同理可得:yN= ,
∴k1k2= × = = ,
由4(x1+2)(x2+2)=(2my1+7)(2my2+7)=4m2y1y2+14m(y1+y2)+49,
∴k1k2= =﹣ ,
∴k1k2是否為定值﹣
【解析】(1)由題意可知b2=3c2 , 根據(jù)點到直線的距離公式,即可求得c的值,求得a和b的值,求得橢圓方程;(2)設(shè)直線PQ方程,代入橢圓方程,利用韋達定理及直線的斜率公式,求得M和N點的縱坐標,利用斜率公式求得k1 , k2 , 利用韋達定理即可求得k1k2 .
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用橢圓的標準方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知空間四邊形ABCD中,AB=BD=AD=2,BC=1,CD= ,若二面角A﹣BD﹣C的取值范圍為[ , ],則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 ,離心率 ,它的長軸長等于圓x2+y2﹣2x+4y﹣3=0的直徑.
(1)求橢圓 C的方程;
(2)若過點 的直線l交橢圓C于A,B兩點,是否存在定點Q,使得以AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點,若存在,求出定點Q的坐標;若不存在,請說明理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)ω>0,函數(shù)y=2cos(ωx+ )﹣1的圖象向右平移 個單位后與原圖象重合,則ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】體積為 的球有一個內(nèi)接正三棱錐P﹣ABC,PQ是球的直徑,∠APQ=60°,則三棱錐P﹣ABC的體積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形,B,E,F(xiàn)分別是AA1 , CC1的中點,且BE⊥B1F.
(Ⅰ)求證:B1F⊥EC1;
(Ⅱ)求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四個實數(shù)根,則實數(shù)ω的取值范圍為( )
A.( , ]
B.( , ]
C.( , ]
D.( , ]
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【題目】某知名品牌汽車深受消費者喜愛,但價格昂貴.某汽車經(jīng)銷商推出A、B、C三種分期付款方式銷售該品牌汽車,并對近期100位采用上述分期付款的客戶進行統(tǒng)計分析,得到如下的柱狀圖.已知從A、B、C三種分期付款銷售中,該經(jīng)銷商每銷售此品牌汽車1倆所獲得的利潤分別是1萬元,2萬元,3萬元.現(xiàn)甲乙兩人從該汽車經(jīng)銷商處,采用上述分期付款方式各購買此品牌汽車一輛.以這100位客戶所采用的分期付款方式的頻率代替1位客戶采用相應(yīng)分期付款方式的概率.
(1)求甲乙兩人采用不同分期付款方式的概率;
(2)記X(單位:萬元)為該汽車經(jīng)銷商從甲乙兩人購車中所獲得的利潤,求X的分布列與期望.
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【題目】(2015·新課標I卷)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E , F是平面ABCD同一側(cè)的兩點,BE⊥平面ABCD , DF⊥平面ABCD , BE=2DF , AE⊥EC.
(1)證明:平面AEC⊥平面AFC
(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值
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