Question

14．已知函數(shù)y=f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求y=f（x）的最大值；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值．
（2）利用（1）的結(jié)論，判斷出函數(shù)的最大值在e處取得；最小值在端點(diǎn)處取得；通過(guò)對(duì)a的分類(lèi)討論比較出兩個(gè)端點(diǎn)值的大小，求出最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=e．
∵當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，則在（e，+∞）上為減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（e）=$\frac{1}{e}$．
（2）∵a＞0，由（1）知：
F（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F(xiàn)（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，
∴當(dāng)0＜a≤2時(shí)，F(xiàn)（a）-F（2a）≤0，f_min（x）=F（a）=lna．
當(dāng)a＞2時(shí)，F(xiàn)（a）-F（2a）＞0，f（x）_min=f（2a）=$\frac{1}{2}$ln2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．