Question

17．甲有一個(gè)箱子，里面放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一個(gè)箱子，里面放有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球．現(xiàn)在甲從箱子里任取2個(gè)球，乙從箱子里任取1個(gè)球．若取出的3個(gè)球顏色全不相同，則甲獲勝．
（1）試問甲如何安排箱子里兩種顏色球的個(gè)數(shù)，才能使自己獲勝的概率最大？
（2）在（1）的條件下，設(shè)取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)甲從箱子任取2個(gè)球，乙從箱子里在取1個(gè)球，若取出的3個(gè)球顏色全不相同，則甲獲勝，可得甲獲勝的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；
（2）由題意知取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的取值為1，2，3，4，分別求出其發(fā)生的概率即可．

解答 解：（1）取出的3個(gè)球顏色全不相同x×y×1=種，總的基本事件有${{c}_{4}^{1}c}_{4}^{2}=24$種，可得甲獲勝的概率P=$\frac{xy}{24}$
$\frac{xy}{24}≤\frac{（\frac{x+y}{2}）^{2}}{24}=\frac{1}{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)“=”成立
所以當(dāng)紅球與白球各2個(gè)時(shí)甲獲勝的概率最大．
（2）取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ=0，1，2，3
當(dāng)ξ=0時(shí)，有${{c}_{2}^{2}c}_{2}^{1}=2$種情況，ξ=1時(shí)，有${{c}_{2}^{2}c}_{2}^{1}{{+c}_{2}^{1}c}_{2}^{1}=10$種情況，ξ=3時(shí)，有${{c}_{2}^{1}c}_{2}^{2}=2$種情況             ξ=2時(shí)，有24-2-10-2=10種情況．              
p（ξ=0）=$\frac{1}{12}$              p（ξ=1）=$\frac{5}{12}$              p（ξ=2）=$\frac{5}{12}$          p（ξ=3）=$\frac{1}{12}$ 
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

點(diǎn)評(píng) 考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，搞清變量的所有取值及求相應(yīng)的概率，屬于中檔題．．