Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+1

，x∈[-1，1]為奇函數(shù)．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判斷f（x）在定義域上單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），帶入f（x）解析式即可求得a；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）在定義域上的符號(hào)即可判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）f（-x）=

-x+a

x2+1

=-

x+a

x2+1

；
∴-x+a=-x-a，∴a=0；
∴f（x）=

x

x2+1

，f（

1

2

）═

2

5

；
（2）f′（x）=

x2+1-x(2x)

(x2+1)2

=

1-x2

(x2+1)2

；
∵x∈[-1，1]，∴1-x²≥0，f′（x）≥0；
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)在一區(qū)間上單調(diào)性的方法．