Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，且
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=an2+an，

∴當(dāng)n=1時，2a1=2S1=a12+a1，且an＞0，

可得a1=1，

∵2Sn=an2+an，

∴當(dāng)n≥2時，2Sn﹣1=an﹣12+an﹣1，

∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又an＞0，

∴an﹣an﹣1=1，

則{an}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

故an=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*；

（2）解：由bn= = =2（ ﹣ ）

可得Tn=2（1﹣ + ﹣ ++ ﹣ ）

=2（1﹣ ）= ．

【解析】（1）由數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時，a1=S1，當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；（2）求得bn= = =2（ ﹣ ），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．