Question

20．如圖，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AC在x軸上，頂點(diǎn)B與y軸上的定點(diǎn)P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．當(dāng)△ABC滾動(dòng)到△A₁B₁C₁時(shí)，頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為$\frac{8π}{3}$；在滾動(dòng)過(guò)程中，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意便可知道，點(diǎn)B的軌跡為兩個(gè)圓心角都為$\frac{2π}{3}$的圓弧和一個(gè)點(diǎn)，這樣即可求出點(diǎn)B的軌跡長(zhǎng)度，分別求出點(diǎn)B在滾動(dòng)前后的縱坐標(biāo)的最大值，并求出P（$0，\sqrt{3}$），這樣即可求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$的最大值．

解答 解：根據(jù)題意知，點(diǎn)B的軌跡為兩個(gè)圓心角為$\frac{2π}{3}$所對(duì)的圓弧和一個(gè)點(diǎn)；
且圓弧的半徑為2；
∴頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為$2•2•\frac{2π}{3}=\frac{8π}{3}$；
$\overrightarrow{OP}=（0，\sqrt{3}）$，設(shè)B（x，y）；
①?zèng)]滾動(dòng)前點(diǎn)B坐標(biāo)$（0，\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=3$；
②第一次滾動(dòng)后B點(diǎn)縱坐標(biāo)y≤2；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}≤2\sqrt{3}$；
③第二次滾動(dòng)后B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=0$；
④第三次滾動(dòng)后B點(diǎn)縱坐標(biāo)y≤2；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}≤2\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$的最大值為$2\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{8π}{3}，2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查弧長(zhǎng)公式，運(yùn)用坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．