Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N*}，等差數(shù)列{b_n}的任一項b_n∈A∩B，其中b₁是A∩B中最的小數(shù)，且88＜b₈＜93，求{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足，是否存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q），使得c₁，c_p，c_q成等比數(shù)列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+3x的圖象上，∴．
當n=1時，a₁=S₁=4；
當n≥2時，，
當n=1時，也滿足．
故a_n=2n+2．
（2）∵A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N^*}，
∴A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}
∴A∩B=B，
又∵b_n∈A∩B，∴b_n∈B即數(shù)列{b_n}的公差是4 的倍數(shù)
又A∩B中的最小數(shù)為6，∴b₁=6，∴b₈=4k+6，k∈N^*，
又∵88＜b₈＜93
∴，解得k=21．
等差數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₈=6+7d=90得d=12，故b_n=12n-6
（3）∵，∴
若c₁，c_p，c_q成等比數(shù)列，則，即．
可得，所以-2p²+4p+1＞0，
從而
又p∈N^*，∴p=2，此時q=12．
故當且僅當p=2，q=12，使得c₁，c_p，c_q成等比數(shù)列．
分析：（1）利用點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+3x的圖象上，可得，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先確定A∩B=B，進而可得數(shù)列{b_n}的公差是4 的倍數(shù)，利用b₁是A∩B中最的小數(shù)，且88＜b₈＜93，即可求{b_n}的通項公式；
（3）利用c₁，c_p，c_q成等比數(shù)列，建立方程，可求正整數(shù)p，q的值．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，考查學生分析解決問題的能力，正確確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．