Question

【題目】已知中心在原點的橢圓C的左焦點F（﹣ ，0），右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為 的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求弦長|AB|的最大值及此時l的直線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：c= ，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．

∵焦點在x軸上，

∴橢圓C的方程為：

（2）解：設直線l的方程為y= x+b，由 ，

可得x2+2bx+2b2﹣2=0，

∵l與橢圓C交于A、B兩點，

∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．

∴弦長|AB|= = ，

∵0≤b2≤2，

∴|AB|= ≤ ，

∴當b=0，即l的直線方程為y= x時，弦長|AB|的最大值為

【解析】（1）由已知根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可求出a、b的值進而得到橢圓的方程。（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，設出A、B兩點的坐標根據(jù)韋達定理得到x1+x2和x1x2 關(guān)系式，代入弦長公式即可求出結(jié)果，利用橢圓自身的范圍限制得到b的取值范圍，進而得到弦長|AB|的最大值以及直線的方程。
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．