Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向下平移，得到函數(shù)g（x），求g（x）圖象與x軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用和差角公式，可將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)ω可得函數(shù)的周期，將相位角代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，求出x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間
（II）由x的范圍，可求出相位角的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得到a值，求出函數(shù)的解析式
（III）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，伸縮變換法則，求出g（x）的解析式，代入積分公式，可得g（x）圖象與x軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積．
解答：解（Ⅰ）函數(shù)==sin（2x+）+a+．
∵ω=2，
∴T=π
由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[+kπ，+kπ]，（k∈Z）．
（II）∵x∈[]
∴2x+∈[]
∴sin（2x+）∈[，1]
∴當(dāng)x∈[]時(shí)，原函數(shù)的最大值與最小值的和+a++1+a+=，
解得：a=0
∴f（x）=sin（2x+）+
（3）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)f（x）sin（2x+）+的圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向下平移，得到函數(shù)g（x）=sinx的圖象
∵=-cosx=1，即g（x）圖象與x軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積為1
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性，最值，及函數(shù)圖象的變換，是三角函數(shù)問題的綜合應(yīng)用，難度中檔．