Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值，并求取得最小值時(shí)x的取值范圍；
（2）若$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，利用分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，得f（x）+m≠0恒成立，結(jié)合函數(shù)f（x）的最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＞$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）=2x-1+2x-3=4x-4，此時(shí)f（x）＞4×$\frac{3}{2}$-4=6-4=2，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）=2x-1-2x+3=2，
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-2x+1-2x+3=-4x+4＞-4×$\frac{1}{2}$+4=-2+4=2，
綜上函數(shù)的最小值為2，此時(shí)$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$．
（2）$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$=$\frac{1}{|2x-1|+|2x-3|+m}$，
若$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$的定義域?yàn)镽，
則f（x）+m≠0恒成立，
即|2x-1|+|2x-3|+m≠0，
由（1）知f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥2，
則|2x-1|+|2x-3|+m≥2+m，
則2+m＞0，得m＞-2，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用，利用分類(lèi)討論的思想將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．