Question

8．函數(shù)f（x）=x³+sinx，（-1＜x＜1），若f（x²）+f（-x）＞0，則實數(shù)x的取值范圍是：（-1，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且在（-1，1）上增函數(shù)，由此可以將f（x²）+f（-x）＞0轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x}^{2}＞x}\end{array}\right.$，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=x³+sinx，f（-x）=（-x）³+sin（-x）=-（x³+sinx）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
其導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+cosx，又由-1＜x＜1，則有f′（x）=3x²+cosx≥0，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
f（x²）+f（-x）＞0⇒f（x²）＞-f（-x）⇒f（x²）＞f（x）⇒$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x}^{2}＞x}\end{array}\right.$，
解可得：-1＜x＜0，即x的取值范圍是（-1，0）；
故答案為：（-1，0）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意要先分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．