精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是斜邊為2的等腰直角三角形,點(diǎn)M,N分別為AB、AC上的點(diǎn),過M、N的直線l將該三角形分成周長(zhǎng)相等的兩部分.
(1)問AM+AN是否為定值?請(qǐng)說明理由.
(2)如何設(shè)計(jì),方能使四邊形BMNC的面積最小?
分析:(1)先求出腰長(zhǎng),然后根據(jù)過MN的直線將該三角形分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)部分可求出AM+AN的值;
(2)當(dāng)△AMN面積最大時(shí),四邊形BMNC面積最小,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S△AMN有最大值,從而求出何時(shí)四邊形BMNC面積最�。�
解答:解:(1)△ABC是斜邊為2的等腰直角三角形
∴AB=AC=
BC
2
=
2

∵M(jìn) N分別為AB AC 上的點(diǎn),過MN的直線將該三角形分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)部分
∴AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN
∴AM+AN=MB+BC+NC
又(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2
2

∴AM+AN=MB+BC+NC=
2
+1
∴AM+AN為定值
(2)當(dāng)△AMN面積最大時(shí),四邊形BMNC面積最小
AM+AN=
2
+1
令A(yù)M=x,則AN=
2
+1-x
S△AMN=
1
2
AM×AN=
1
2
x(
2
+1-x)=-
1
2
[x2-(
2
+1)x]
當(dāng)x=
2
+1
2
時(shí),S△AMN有最大值,四邊形BMNC面積最小
即當(dāng)AM=AN=
2
+1
2
時(shí),四邊形BMNC面積最小
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)的最值,同時(shí)考查了計(jì)算能力和分析能力,以及轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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3
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