Question

已知有相同焦點(diǎn)F₁、F₂的橢圓

x2

m

+y²=1（m＞1）和雙曲線

x2

n

-y²=1（n＞0），點(diǎn)P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則三角形F₁PF₂面積的大小是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式，即可得出三角形的面積．

解答： 解：如圖所示，不妨設(shè)兩曲線的交點(diǎn)P位于雙曲線的右支上，設(shè)|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由雙曲線和橢圓的定義可得

s+t=2 m s-t=2 n

，
解得s²+t²=2m+2n，st=m-n．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=

s2+t2-4c2

2st

=

2m+2n-4(m-1)

2m-2n

∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴△F₁PF₂面積為

1

2

st=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與雙曲線方程及其幾何性質(zhì)及代數(shù)運(yùn)算能力．熟練掌握雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．