Question

求過(guò)兩點(diǎn)A(1，4)、B(3，2)且圓心在直線y＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P(2，4)與圓的關(guān)系．

Answer 1

圓的方程為(x＋1)²＋y²＝20.點(diǎn)P在圓外

(解法1)(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)²＋(y－b)²＝r².
∵圓心在y＝0上，故b＝0.∴圓的方程為(x－a)²＋y²＝r².
∵該圓過(guò)A(1，4)、B(3，2)兩點(diǎn)，∴解之得a＝－1，r²＝20.
∴所求圓的方程為(x＋1)²＋y²＝20.
(解法2)(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)∵圓過(guò)A(1，4)、B(3，2)兩點(diǎn)，∴圓心C必在線段AB的垂直平分線l上．∵k_AB＝＝－1，故l的斜率為1，又AB的中點(diǎn)為(2，3)，故AB的垂直平分線l的方程為y－3＝x－2即x－y＋1＝0.又知圓心在直線y＝0上，故圓心坐標(biāo)為C(－1，0)．∴半徑r＝|AC|＝.故所求圓的方程為(x＋1)²＋y²＝20.又點(diǎn)P(2，4)到圓心C(－1，0)的距離為d＝|PC|＝>r.
∴點(diǎn)P在圓外．