【題目】從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年,圓形方孔銅錢(簡稱“孔方兄”)是我國使用時間長達兩千多年的貨幣.如圖1,這是一枚清朝同治年間的銅錢,其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的,內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合,正方形外部,圓框內(nèi)部刻有四個字“同治重寶”.某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀念品,其小圓內(nèi)部圖紙設計如圖2所示,小圓直徑1厘米,內(nèi)嵌一個大正方形孔,四周是四個全等的小正方形(邊長比孔的邊長。總正方形有兩個頂點在圓周上,另兩個頂點在孔邊上,四個小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字.設,五個正方形的面積和為S.
(1)求面積S關(guān)于的函數(shù)表達式,并求定義域;
(2)求面積S的最小值及此時的值.
【答案】(1),的取值范圍為,,;(2)時,面積S有最小值為.
【解析】
(1)構(gòu)造直角三角形,利用小圓直徑與三角函數(shù)分別求出大、小正方形的邊長,即可求得五個正方形的面積表達式,由小正方形邊長小于內(nèi)嵌一個大正方形的邊長可求得的取值范圍;(2)利用降冪公式及輔助角公式化簡面積表達式為正弦型函數(shù),當時S取最小值,此時求出的值然后求出,由二倍角的正弦公式可求得.
(1)過點O分別作小正方形邊,大正方形邊的垂線,垂足分別為E,F,
因為內(nèi)嵌一個大正方形孔的中心與同心圓圓心重合,
所以點E,F分別為小正方形和大正方形邊的中點,
所以小正方形的邊長為,
大正方形的邊長為,
所以五個正方形的面積和為,
,
因為小正方形邊長小于內(nèi)嵌一個大正方形的邊長,
所以,,,
所以的取值范圍為,,
所以面積S關(guān)于的函數(shù)表達式為,
的取值范圍為,,.
(2)法一:,
,
,
,其中,,
所以,此時,因為,所以
,所以,
所以,
則,化簡得:,
由此解得:,
因為,所以,
答:面積S最小值為,
法二:,
,
令,則,
設,,
令,得:,
t | |||
- | 0 | + | |
極小值 |
所以時,面積S最小值為.
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【題目】已知直線是平面和平面的交線,異面直線,分別在平面和平面內(nèi).
命題:直線,中至多有一條與直線相交;
命題:直線,中至少有一條與直線相交;
命題:直線,都不與直線相交.
則下列命題中是真命題的為( )
A.B.C.D.
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【題目】四棱錐中,平面,四邊形是矩形,且,,是線段上的動點,是線段的中點.
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成角為,
①求線段的長;
②求二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,其右頂點為,下頂點為,定點,的面積為,過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點,直線分別與軸交于兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)試探究的橫坐標的乘積是否為定值,若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】“三分損益法”是古代中國發(fā)明制定音律時所用的方法,其基本原理是:以一根確定長度的琴弦為基準,取此琴強長度的得到第二根琴弦,第二根琴弦長度的為第三根琴弦,第三根琴弦長度的為第四根琴弦.第四根琴弦長度的為第五根琴弦.琴弦越短,發(fā)出的聲音音調(diào)越高,這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調(diào)由低到高分別稱為“官、商、角(jué)、微(zhǐ)、羽”,則“角"和“徵”對應的琴弦長度之比為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖所示,平面平面,且四邊形為矩形,四邊形為直角梯形,,,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的大;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的余弦值.
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【題目】如圖,由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中, ,平面平面.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
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【題目】把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再把所得的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象,關(guān)于的說法有:①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;②函數(shù)的圖象的一條對稱軸是;③函數(shù)在上的最上的最小值為;④函數(shù)上單調(diào)遞增,則以上說法正確的個數(shù)是( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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