【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,,,側(cè)面SAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,且平面平面ABCD,MN分別為AD,SC的中點.

1)求證:平面SAB

2)求直線BN與平面SAB所成角的余弦值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)取SB的中點H,連接AHNH,由平面幾何的知識可得四邊形AHNM是平行四邊形,,再由線面平行的判定即可得證;

2)設直線BN與平面SAB所成的角為,其中,點N到平面SAB的距離為d,由題意結(jié)合線面、面面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定可得,連接SM,由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD,進而可得,由余弦定理求得后,利用,即可得解.

1)如圖,取SB的中點H,連接AHNH,

MN分別為AD,SC的中點,∴,

,且,

∴四邊形AHNM是平行四邊形,,

平面SAB平面SAB,∴平面SAB

2)設直線BN與平面SAB所成的角為,其中,點N到平面SAB的距離為d,

由(1)知平面SAB,則M到平面SAB的距離也是d

∵平面平面ABCD,平面平面,,

平面SAD,又平面SAB,∴平面平面SAD

又平面平面,平面SAD內(nèi)的直線SD垂直于兩平面的交線SA,

平面SAB

M是等腰直角三角形ADS斜邊AD的中點,所以M到平面SAB的距離dDS的一半,

,∴,∴

連接SM,CMBM,

∵平面平面ABCD,平面SAD內(nèi)的直線SM垂直兩平面的交線AD于點M,

平面ABCD

由勾股定理易得

中,由余弦定理得,

,

,

∴直線BN與平面SAB所成角的余弦值為

練習冊系列答案
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