Question

1．如圖：在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ABB₁A₁是菱形，四邊形CBB₁C₁是矩形，AC=5，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°．
（1）求證：平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁；
（2）求直線A₁C與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理證明AB⊥BC，推出CB⊥BB₁，然后證明BC⊥平面ABB₁A₁，得到平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁．
（2）取AB的中點D，連結A₁D，CD，說明A₁CD是直線A₁C與平面ABC所成的角，在Rt△A₁CD中，轉化求解即可．

解答 解：（1）∵AC=5，CB=3，AB=4
∴AC²=BC²+AB²
∴AB⊥BC…（2分）
又∵四邊形CBB₁C₁是矩形
∴CB⊥BB₁…（3分）
又∵AB∩BB₁=B
∴BC⊥平面ABB₁A₁
又∵BC?平面CA₁B
∴平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁…（6分）

（2）取AB的中點D，連結A₁D，CD，∵∠A₁AB=60°，AA₁=AB
∴△AA₁B為正三角形
∴A₁D⊥AB…（8分）
由（Ⅰ）可知BC⊥平面ABB₁A₁
∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABB₁A₁
又∵平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB
∴A₁D⊥平面ABC
∴CD是A₁C在平面ABC上的投影
∴∠A₁CD是直線A₁C與平面ABC所成的角      …（10分）
在Rt△A₁CD中，${A_1}D=2\sqrt{3}，CD=\sqrt{13}$
∴$tan∠{A_1}CD=\frac{{{A_1}D}}{CD}=\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$
∴直線A₁C與平面ABC所成角的正切值為$\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．