Question

偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（-∞，0）上是減函數(shù)，f（6）=0，設(shè)g（θ）=2cos²θ+msinθ-

17

4

m，當(dāng)g（θ）＜0且f[g（θ）]＞0恒成立時，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意可知，問題可轉(zhuǎn)化為g（θ）＜-6對任意的θ恒成立，然后分離參數(shù)m，問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．

解答： 解：因為偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（-∞，0）上是減函數(shù)，f（6）=0，
所以f（-6）=f（6）=0．
所以若g（θ）＜0且f[g（θ）]＞0恒成立，則只需g（θ）＜-6對任意的θ恒成立即可．
即2cos²θ+msinθ-

17

4

m＜-6對任意的角θ恒成立．
即2-2sin2θ+msinθ-

17

4

m＜-6對θ∈R恒成立．
整理得m＞

2sin2θ-8

sinθ- 17 4

=-[(

17

4

-sinθ)+

25×9 8

17 4 -sinθ

-17]恒成立．
令t=

17

4

-sinθ∈[

13

4

，

21

4

]．
則原式化為m＞-[t+

25×9 8

t

-17]，t∈[

13

4

，

21

4

]①．
令y=t+

25×9 8

t

，易知該函數(shù)在（0，

15 2

4

）上遞減，且

15 2

4

＞

21

4

，
所以y=t+

25×9 8

t

在[

13

4

，

21

4

]上遞減．
所以t=

21

4

時，y_min=-

285

28

．
所以要使①式恒成立，只需m＞

285

28

．
即m的取值范圍是(

285

28

，+∞)．

點評：本題考查了不等式恒成立問題的解題思路，三角函數(shù)的最值問題的處理方法，要注意換元思想的應(yīng)用．