【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖，在陽馬中，側棱底面，且， 為中點，點在上，且平面，連接， ．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；

（Ⅲ）已知， ，求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）．

【解析】試題分析：

(1)利用線面垂直的判斷定理證明 垂直于平面 內的兩條相交直線即可；

(2)利用空間幾何體的結構特征判斷命題是否成立即可；

(3)利用題意建立空間直角坐標系，求得法向量，最后利用 求解角度值即可求得余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）因為面， 面，所以．

因為四邊形為矩形，所以．

，所以面．

面， ，

在中， ， 為中點，所以．

，

所以面．

（Ⅱ）四面體是鱉臑，其中， ．

（Ⅲ）以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系． ， ， ， ， ．

設，則．

得解得．所以．

設平面的法向量，

令得， ．

平面的法向量，

平面的法向量，

， ．

二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在一次招聘中，主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題。甲能正確完成其中的4道題，乙能正確完成每道題的概率為，且每道題完成與否互不影響。

⑴記所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為X，則X的分布列為____________；

⑵記乙能答對的題數(shù)為Y，則Y的期望為_________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】學校為了了解高三學生每天自主學習中國古典文學的時間，隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調查，其中每天自主學習中國古典文學的時間超過3小時的學生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調查結果如表：

古文迷

非古文迷

合計

男生

26

24

50

女生

30

20

50

合計

56

44

100

（1）根據表中數(shù)據判斷能否有的把握認為“古文迷”與性別有關？

（2）先從調查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行理科學習時間的調查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù)；

（3）現(xiàn)從（2）中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行體育鍛煉時間的調查，記這3人中“古文迷”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．

參考數(shù)據：

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.321

3.841

5.024

6.635

參考公式： ，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙二人同時從地趕住地，甲先騎自行車到兩地的中點再改為跑步；乙先跑步到兩地的中點再改為騎自行車，最后兩人同時到達地．已知甲騎自行車比乙騎自行車的速度快，且兩人騎車的速度均大于跑步的速度．現(xiàn)將兩人離開地的距離與所用時間的函數(shù)關系用圖象表示如下：

則上述四個函數(shù)圖象中，甲、乙兩人運行的函數(shù)關系的圖象應該分別是（ ）

A. 圖①、圖② B. 圖①、圖④ C. 圖③、圖② D. 圖③、圖④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合．對于， ，定義與之間的距離為．

（Ⅰ）寫出中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；

（Ⅱ）若集合滿足： ，且任意兩元素間的距離均為2，求集合中元素個數(shù)的最大值并寫出此時的集合；

（Ⅲ）設集合， 中有個元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一片森林原面積為．計劃從某年開始，每年砍伐一些樹林，且每年砍伐面積的百分比相等．并計劃砍伐到原面積的一半時，所用時間是10年．為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的．已知到今年為止，森林剩余面積為原面積的．

（1）求每年砍伐面積的百分比；

（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

（3）為保護生態(tài)環(huán)境，今后最多還能砍伐多少年？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于、兩點，以為對角線作正方形，記直線與軸的交點為，問、兩點間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，菱形與正三角形的邊長均為2，它們所在平面互相垂直， 平面，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某教研機構隨機抽取某校20個班級，調查各班關注漢字聽寫大賽的學生人數(shù)，根據所得數(shù)據的莖葉圖，以組距為5將數(shù)據分組成時，所作的頻率分布直方圖如圖所示，則原始莖葉圖可能是（ ）

A. B.

C. D.

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