Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數n，點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，且過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設Q={x|x=k_n，n∈N^*}，R={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差數列{c_n}的任一項c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，所以S_n=n²+2n，利用用數列中a_n與 S_n關系解決．
（2）先求出Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}，利用條件求出c₁=6，c₁₀=114求{c_n}的通項公式．

解答：解：（1）因為點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，
所以S_n=n²+2n，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
當n=1時，a_n=3滿足上式，
所以數列{a_n}的通項公式a_n=2n+1；
（2）由f（x）=x²+2x求導得f′（x）=2x+2，
∴k_n=2n+2，∴Q={x|x=2n+2，n∈N*}，又R={x|x=4n+2，n∈N*}，
所以Q∩R=R，又c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數，所以c₁=6，
又{c_n}是公差為4的倍數的等差數列，
所以令c₁₀=4m+6，又110＜c₁₀＜115，解得m=27，
所以c₁₀=114，設等差數列{c_n}的公差為d，則c₁₀-c₁=9d，d=12．
所以{c_n}的通項公式c_n=6+（n-1）×12=12n-6．

點評：本題考查函數與導數 數列的綜合．本題集函數、導數、數列、不等式于一體，體現了知識間的交匯與融合，同時又考查了數列的基本解題方法，考查了學生分析問題和解決問題．強調在“知識的交匯處”命制試題，是近年高考命題的趨勢．