Question

【題目】已知為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)滿足

（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設(shè)出A、P點(diǎn)坐標(biāo)，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示A點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入圓方程，從而求出P點(diǎn)的軌跡；

（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率存在與否進(jìn)行分類討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，求出面積的值，當(dāng)斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)P坐標(biāo)表示的面積，減元后再利用函數(shù)單調(diào)性求出最值，最后總結(jié)出最值.

解：（1） 設(shè)，

由題意得：，

由，可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，

故，

所以，

又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，

所以得，

故動點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）設(shè)，則，且，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>,

即

故，

，

，

①，

代入①

設(shè)

因?yàn)?/span>恒成立，

在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)有最小值，即,

綜上：的最小值為