Question

已知橢圓C₁：，雙曲線C₂：．若直線與橢圓C₁、雙曲線C₂都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C₂的兩交點(diǎn)A、B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由l與橢圓C₁恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得解得  ①，由l與C₂ 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得 k²≠，且k²＜1  ②，再由 可得 或  ③，結(jié)合①②③求得k²的取值范圍，即可得到k的取值范圍．
解答：解：將代入得，，
由判別式 ，解得  ①．
將代入得，（1-3k²）x²-6kx-9=0，
由l與C₂ 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得 ，解得 k²≠，且k²＜1  ②，
根據(jù) =x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂++2=＜6，
解得，或  ③．  由①②③得，或．
故k的取值范圍為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，求得，或，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．