Question

8．威遠(yuǎn)中學(xué)舉行中學(xué)生“珍愛(ài)地球•保護(hù)家園”的環(huán)保知識(shí)比賽，比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進(jìn)行；每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入復(fù)賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰．已知選手甲答對(duì)每個(gè)題的概率均為$\frac{3}{4}$，且相互間沒(méi)有影響．
（Ⅰ）求選手甲進(jìn)入復(fù)賽的概率；
（Ⅱ）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“選手甲進(jìn)入復(fù)賽”為事件A，分別求出選手甲答了3題都對(duì)進(jìn)入復(fù)賽概率、選手甲答了4個(gè)題，前3個(gè)2對(duì)1錯(cuò)進(jìn)入復(fù)賽的概率和選手甲答了5個(gè)題，前4個(gè)2對(duì)2錯(cuò)進(jìn)入復(fù)賽的概率，由此能求出選手甲進(jìn)入復(fù)賽的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“選手甲進(jìn)入復(fù)賽”為事件A，
則選手甲答了3題都對(duì)進(jìn)入復(fù)賽概率為：$C_3^3{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{64}$；
或選手甲答了4個(gè)題，前3個(gè)2對(duì)1錯(cuò)進(jìn)入復(fù)賽概率為：$C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{81}{256}$，
或選手甲答了5個(gè)題，前4個(gè)2對(duì)2錯(cuò)進(jìn)入復(fù)賽概率為：$C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}•{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}=\frac{81}{512}$，
∴選手甲進(jìn)入復(fù)賽的概率$P（A）=\frac{27}{64}+\frac{81}{256}+\frac{81}{512}=\frac{459}{512}$．…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值為3，4，5，對(duì)應(yīng)X的每個(gè)取值，選手甲被淘汰或進(jìn)入復(fù)賽的概率，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{3}{4}）^3}+C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{7}{16}$…（6分）
$P（X=4）=C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{45}{128}$…（8分）
$P（X=5）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}×{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{27}{128}$，
X的分布列為：

X	3	4	5
P（X）	$\frac{7}{16}$	$\frac{45}{128}$	$\frac{27}{128}$

…（10分）
∴$EX=3×\frac{7}{16}+4×\frac{45}{128}+5×\frac{27}{128}=\frac{483}{128}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．