Question

16．曲線(xiàn)f（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x＞0）上一動(dòng)點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線(xiàn)斜率的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 先求出曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式求出導(dǎo)數(shù)的最小值，即得到曲線(xiàn)斜率的最小值．

解答 解：f（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴在該曲線(xiàn)上點(diǎn)（x₀，f（x₀））處切線(xiàn)斜率 k=3x₀²+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
由函數(shù)的定義域知 x₀＞0，
∴k≥2$\sqrt{3{{x}_{0}}^{2}•\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)3x₀²=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 時(shí)，等號(hào)成立．
∴k的最小值為2$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率與對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．