Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，短軸上的兩個頂點為A，B（A在B的上方），且四邊形AF₁BF₂的面積為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點M，N，直線y=1與直線BM交于點G，求證：A，G，N三點共線．

Answer 1

分析 （1）橢圓C的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得b=c，四邊形AF₁BF₂是正方形，即a²=8，b=c=2．                  
（2）將已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0 
 設(shè)M（x_M，kx_M+4），N（x_N，kx_N+4），G（x_G，1），
MB方程為：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}x-2$，則G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
欲證A，G，N三點共線，只需證$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$，共線，即只需（3k+k）x_Mx_n=-6（x_M+x_N）即可．

解答 解：（1）∵橢圓C的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴b=c，因此四邊形AF₁BF₂是正方形．…（2分）
∴a²=8，b=c=2．                                   …（4分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．                           …（5分）
（2）證明：將已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，…（6分）
△=32（2k²-3）＞0，解得：k${\;}^{2}＞\frac{3}{2}$．
由韋達定理得：${x}_{M}+{x}_{N}=-\frac{16k}{2{k}^{2}+1}$①，x_M•x_N=$\frac{24}{2{k}^{2}+1}$，②…（7分）
設(shè)M（x_M，kx_M+4），N（x_N，kx_N+4），G（x_G，1），
MB方程為：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}x-2$，則G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），…（8分）
∴$\overrightarrow{AG}=（\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}，-1）$，$\overrightarrow{AN}=（{x}_{N}，k{x}_{N}+2）$，…（9分）
欲證A，G，N三點共線，只需證$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共線，
即$\frac{3{x}_{M}}{{x}_{M}k+6}$（kx_N+2）=-x_N成立，化簡得：（3k+k）x_Mx_n=-6（x_M+x_N）
將①②代入易知等式成立，則A，G，N三點共線得證．        …（12分）

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了方程思想、運算能力，屬于中檔題．